Теория росцилляторов и росцилляторных антирезонансов
- Навигация по данной странице:
- Равновесные и гомографические решения многих тел
- Плоская ограниченная круговая задача трех тел (элементарная теория движения Луны)
Кинематика тел в точечном представлении в гравитационном пространстве в произвольной системе отсчета Метод переменных систем отсчета. Кинематика многих тел в галилеевом пространствеЮровицкий В.М., Российский государственный социальный университет, Москва E-mail: vlad@yur.ru Заканчивается разработка теории движения многих тел в точечном представлении, начатая в работах [1] и [2]. Приведены решения принципиально новых задач практической важности. Универсальные уравнения поля и движения В качестве системы отсчета используем ньютоно-эвклидовскую систему отсчета на базе абсолютно твердого тела. В качестве характеристики состояния всех элементарных механических объектов используем характеристику весомости W, равную нулю в невесомом состоянии, характеризующем свободное, невзаимодействующее состояние объекта и отличную от нуля при наличии механических воздействий на него со стороны других тел. Пространство, в котором отсутствует феномен гравитации, назовем негравитационным или галилеевым. В галилеевом пространстве можно ввести неинерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета. В этой системе она сохраняет жетскость и неизменность без воздействий тел отсчета друг на друга. Другими словами, все элементы инерциальной системы отсчета находятся в невесомом состоянии. Соответственно все невесомые (свободные) тела в этой системе отсчета имеют в качестве кинематической характеристики равномерное и прямолинейное движение или неподвижность. Весомы тела имеют характеритистику движения в этой системе отсчета подчиняющуюся модернизированному второму закону Ньютона ![]() где w ─ ускорение. В галилеевом (негравитирующем) пространстве можно ввести и неинерциальную ньютоно-эвклидову систему отсчета (на базе твердого тела). Но теперь уже элементы системы отсчета уже будут в общем случае иметь весомое состояние. В том числе весомым может быть и начало системы отсчета W0. Неинерциальные системы отсчета могут характеризоваться макроописанием (интегральными или глобальными характеристиками) и микроописаниями. В качестве макроописания используется две векторные характеристики ─ весомость начала системы отсчета W0 и угловая скорость вращения системы отсчета (скорость вращения относительно неподвижных звезд) . Микроописание состоит из распределения весомости кординатизированных элементов системы отсчета, т.е. поля весомости H(r). Эти характеристики могут меняться во времени. Постулат. Неинерциальные системы отсчета в галилеевом пространстве, имеющие одинаковые глобальные характеристики, эквивалентны. В частности, это означает, что любые свободные (невесомые) объекты, имеющие одинаковое начальные характеристики в эквивалентных иеинрциальных системах отсчета, имеют одинаковое кинематическое описание Для негалилеевых (гравитирующих) пространств этот постулат в общем случае не имеет места. Связь между глобальными характеристиками и микроописанием дается уравнением состояния системы отсчета ─ уравнениями поля весомости. Для вывода уравнения состояния поля весомости в галилеевом пространстве воспользуемся хорошо известным распределением абсолютных ускорений элементов твердого тела ![]() где w ─ абсолютное ускорение (ускорение в инерциальной системе отсчета) элемента твердого тела с радиус-вектором r, w0 ─ абсолютное ускорение элемента твердого тела в начале системы отсчета, ─ угловая скорость вращения твердого тела. Но согласно уравнению (1) ![]() Здесь W ─ весомость элемента системы отсчета, а H ─ напряженность весомостного поля системы отсчета; W0 ─ весомость начального элемента системы отсчета, а H0 ─ напряженность начала системы отсчета. Подставляя (3) в (2), получаем уравнение состояния весомостного поля:о ![]() В работе [1] получены дифференциальные уравнения гравитационного поля в гармонической системе отсчета в концепции полевой гравитации. В работе [2] получено уравнение состояния неинерциальной системы отсчета в галилеевом (негравитационном) пространстве: ![]() Физический смысл полей V и H одинаков ─ это поля весомости. Поэтому представляется логичной гипотеза, что общее весомостное поле B в произвольной системе отсчета в гравитационном (негалилеевом) пространстве является аддитивным и представляет собой сумму поля весомости неинерциальной системы отсчета при выключенной гравитации H и гравитационного поля в гармонической системе отсчета V, в которой отсутствуют имманентные характеристики системы отсчета? В результате чего получаем уравнение состояния системы отсчета ─ поле весомости произвольного пространства в произвольной системе отсчета: Это максимально полное и универсальное уравнение, описывающее всех системы отсчета на ньютоно-эвклидовом универсуме системы тел отсчета, погруженном в любое пространство, с любой системой отсчета с любой координатизацией ее (имеется ввиду, что оно допускает любые системы координат – декартовые, сферические полярные и иные). В работе [2] выведены уравнения движения для неинерциальной системы отсчета в галилеевом пространстве.
В это уравнение входят глобальный параметр , который сохраняется и в произвольном пространстве, и локальный параметр H, который локально неотличим от параметра V, что и есть, фактически, содержание принципа эквивалентности. А следовательно это уравнение полностью сохраняет силу, если параметр H заменить параметром B. Этим самым мы получаем универсальное уравнение движения произвольного тела в произвольной системе отсчета в произвольном пространстве: ![]() Универсальные уравнения движения тел в точечном представлении На основании уравнений поля и движения и используя результаты работ [1] и [2] получаем уравнения движения n тел в точечном представлении: Для y и z компонент уравнения получаются циклической перестановкой (5). Здесь мы использовали только потенциальные компоненты поля. Гипотетические вихревые составляющие в это уравнение не включены. В небесной механике рассматриваются как правило свободные движения тел, находящиеся в невесомом состоянии, поэтому все правые части нулевые. Кроме того, наиболее удобно начало отсчета совмещать с одним из тел, т.е. иметь невесомое начало отсчета, что сразу обращает в нуль все компоненты H0. Однако, в космонавтике, где приходится рассматривать движения на активных участках полета космического объекта в гравитационном поле и еще совершать при этом некоторый маневр, может потребоваться уравнения (5) в полном виде. Несмотря на устрашающий вид уравнений (5), их использование высокоэффективно. Дело в том, что оно универсально, в них «все включено», и потому использование его состоит в чисто механическом отборе требуемых факторов.
Мы будем использовать технологию переменных систем отсчета, т.е. использовать системы отсчета наиболее адекватные задаче, но в которых не всех характеристики систем отсчета заранее заданы, а часть их сами являются переменными. И решение задачи состоит как в определении характеристик системы отсчета, так и движений в ней. Задача двух тел Решаем наиболее простую и наиболее важную для небесной механики задачу Кеплера, т.е. движение двух тел в гравитационном поле, создаваемым самими телами. В соответствии с принципами переменных систем отсчета вводим систему отсчета, начало которой на одном из тел, а ось Ox направляем на второе тело. Таким образом, движение тела является одномерным, но сама система отсчета нам неизвестна и ее характеристики (угловая скорость вращения) есть также переменная задачи. Таким образом, переменные задачи есть координата движения второго тела и вектор вращения самой системы. Этот вектор мы не фиксируем ни по величине, ни по направлению. Тогда система (5) сводится к следующей системе трех уравнений:
Здесь мы использовали как это обычно принято в небесной механике гравитационную постоянную равную 1. Подставляем Из последнего уравнения сразу следует: Из второго уравнения
Подставляя в (8), получаем ![]() Решение дает обычные движения по линиям конического сечения, отличающиеся от стандартного решения не приведенными массами, а суммой масс ввиду отличных систем отсчета. Главные особенности решения:
Задача трех тел Берем на нулевом теле начало системы отсчета. На первое тело направляем ось Ox. Второе тело включаем в плоскость xOy. Тогда получаем систему уравнений: ![]() Гравитационные компоненты: ![]() Задача трех тел сводится к шести уравнениям ранга 9. Возможно, видимо, понижение ранга системы ввиду отсутствия явной зависимости от времени. Равновесные и гомографические решения многих тел Представление задачи многих тел в форме (5) позволяет легко найти все равновесные и гомографические конфигурации многих тел. Такие решения возникают при обращении в нуль нецентральных компонент гравитационных полей. При произвольных массах это возникает при равенстве всех расстояний между телами либо если нецентральный член вообще отсутствует:
Такие решения возможны при любых симметричных многоточечниках
Все эти решения легко исследуются в системе уравнений (5). Плоская ограниченная круговая задача трех тел (элементарная теория движения Луны) Ограниченной круговой задачей движения трех тел называют задачу о движении тела малой массы в окрестности тел, движущихся друг относительно друга по круговой орбите. Если движение происходит в одной плоскости, то говорят о плоской задаче. В первом приближении к этой задаче сводится задача о движении Луны. Этой задаче посвящено много работ, но до сих пор она не имеет полного решения [3, стр.524]. Рассмотрим задачу о движении Луны вокруг Земли с учетом влияния Солнца в первом приближении. Обозначим:
Введем систему отсчета с центром на Земле, с осью Ох направленной на Солнце. Принимаем движение системы отсчета с постоянной по направлению и величине угловой скоростью вращения (плоскость непрецессирующая в системе неподвижных звезд). Движение Луны происходит в плоскости, координаты ее (x, y). Уравнения движения:
Для гравитационных компонент из (12) имеем: ![]() Для первого приближения принимаем, что расстояние Земля-Луна мало по сравнению с расстоянием Земля –Солнце и потому можно принять =R. Поэтому первым членом в уравнении для x-компоненты напряженности гравитационного поля можно пренебречь. Солнечный член есть, фактически, квадрат угловой скорости вращения по круговой орбите Земли вокруг Солнца при пренебрежении влиянием Луны, т.е. 2. Член с массой Земли и Луны есть квадрат угловой скорости 0 вращения в системе Земля-Луна в уединенном положении, т.е. вне влияния Солнца. Итак, получаем систему уравнений: ![]() Проверяем, удовлетворяет ли этой системе круговое движение Луны с постоянной скоростью вращения . Для этого принимаем: ![]() Подставляем в 14 ![]() Отсюда получаем соотношение между частотами: Решение уравнения ![]() Фактически, есть угловая скорость sn синодического периода обращения Луны. Так как движение Солнца и Луны по небесному своду идет в одинаковом направлении, то в формуле (18) надо брать минус. Для получения сидерической угловой скорости sd надо вычесть угловую скорость обращения Земли вокруг Солнца, т.е. ![]() Был произведен расчет сидерического значения Луны по системе астрономических постоянных МАК по формуле (19) и сравнен с средним значением по этим же данным. Расхождение оказалось около 0.7% (2.68*10-6 с-1 по расчету и средняя сидерического движение Луны по МАК 2.66*10-6 с-1). Для такой простой модели это может быть признано в качестве весьма удовлетворительного результата. Отсюда следует, что эта модель вполне может стать основой, первым приближением к точным расчетам эфемерид Луны, значительно более простым, чем существующие модели, если учесть, что, к примеру, в модели Делоне используется 500 членов, а последние модели насчитывают 1200 членов разложения. Заключение Выведены уравнения движения в произвольном пространстве в произвольной системе отсчета произвольного количества тел в произвольном состоянии в точечном представлении. Для решения задач использована техника переменных систем отсчета. Дано решение задачи двух тел. Показано существование неизвестного до сего времени решения ─ движения в прецессирующей системе отсчета. Одновременно показана совместимость коперникианства и птолемеевизма. Выписаны развернутые уравнения трех тел в виде шести уравнений ранга 9. Приведена классификация равновесных и гомографических решений многих тел. Создана элементарная теория Луны, которая может стать основой новой точной теории Луны Библиография:
2 Юровицкий В.М., Общая теория неинерциальных систем отсчета в галилеевом пространстве. Представлена в ЖЭТФ. 3 Справочное руководство по небесной механике и астрометрии. Под редакцией Г.Н.Дубошина. М., «Наука», 1976 |