Скачать 32.88 Kb.
Дата01.02.2018
Размер32.88 Kb.

Отзыв рецензента



ОТЗЫВ РЕЦЕНЗЕНТА на диссертацию Василия Петровича Степанова "Гамильтонова механика в пространстве постоянной отрицательной кривизны", представленную на соискание степени магистра физико-математических наук. Представленная работа посвящена анализу гамильтонова подхода в четырёхмерном пространстве постоянной отрицательной кривизны, так называемом пространстве анти-де Ситтера, на примере простейшей задачи описания динамики свободно движущейся материальной точки. Пространство анти-де Ситтера может быть представлено четырёхмерным однополостным гиперболоидом, вложенным в объемлющее плоское псевдоевклидово шестимерное пространство с сигнатурой метрики (++----). В системе проективных координат Бельтрами плоская метрика объемлющего пространства индуцирует на гиперболоиде метрику пространства анти-де Ситтера. Эти координаты можно назвать аналогом декартовых координат в пространстве постоянной кривизны, поскольку именно в этой системе геодезические линии являются прямыми. В данной работе изначально используются координаты Бельтрами. В работе выполнен переход от лагранжева формализма в координатах Бельтрами к гамильтонову, при этом гамильтониан оказывается зависящим явно от времени, что естественно, так как модель не обладает трансляционной инвариантностью по времени. Однако, повороты в объемлющем пространстве, переводящие гиперболоид сам в себя, индуцируют в пространстве анти-де Ситтера нелинейные преобразования координат и времени, являющиеся преобразованиями симметрии модели. Из этого, в соответствии с I теоремой Нётер, следует существование интегралов движения, один из которых имеет смысл сохраняющейся энергии и не совпадает с гамильтонианом. В работе приведены выражения для энергии и остальных интегралов движения. Главной целью работы явилось нахождение такой параметризации пространства анти-де Ситтера, при которой гамильтониан не зависит от времени. Эта цель достигнута - найдено явное выражение для перехода от координат Бельтрами к новым пространственным координатам и времени, для которых преобразованный гамильтониан не зависит от (нового) времени и совпадает с энергией. К тому же, в новых координатах вид гамильтониана сильно упрощается. Известно, что в пространстве анти-де Ситтера переход к нерелятивистскому пределу (скорость света C стремится к бесконечности) и переход к пределу плоского пространства (радиус кривизны R стремится к бесконечности) не перестановочны, поэтому здесь существуют разные предельные случаи. Рассмотрение этих пределов - ещё одна задача работы, для них получены выражения для гамильтониана, энергии и других интегралов движения в координатах Бельтрами (они были известны ранее, так что в данной работе они проверены) и в новых координатах. В последней части работы в новых координатах сформулирована соответствующая квантово-механическая задача. Из-за невозможности найти точное решение для полного гамильтониана, вид которого достаточно сложен даже в новых координатах, используется первое приближение гамильтониана в пределе пространства Ньютона-Гука (бесконечные R и C, R=CT, где T — константа порядка времени существования Вселенной), которое имеет вид гамильтониана трёхмерного гармонического осциллятора - точно решаемой модели. Из этого делается вывод, что движение свободной частицы в пространстве анти-де Ситтера приближённо представляет собой колебания с очень большим периодом порядка T. Остаётся неясным, правда, как повлияет на этот результат учёт ангармонических поправок к гамильтониану. После прочтения работы возникает ряд существенных замечаний. Прежде всего, совершенно не рассмотрен вопрос о единственности замены переменных, делающей гамильтониан не зависящим от времени. Хотелось бы также увидеть применение описанной техники к задачам более нетривиальным, чем движение свободной частицы. Можно также отметить, что некоторые из результатов работы носят академический характер, например, разрешаемая в последнем разделе задача о предельном переходе решения уравнения Шрёдингера для гармонического осциллятора в решение для свободно движущейся частицы при стремлении потенциала к нулю. С физической точки зрения это кажется очевидным, хотя непосредственное доказательство, выполненное в данной работе, не совсем элементарно. Автор, по-видимому, считает читателя работы хорошо знакомым с деталями теории искривлённого пространства, поэтому не всегда даёт в тексте пояснения, которые бы облегчили понимание работы. С другой стороны, язык изложения весьма хорош. Всё же, по моему мнению, рецензируемая работа показывает хорошее владение автором математическим аппаратом теоретической физики и его высокую работоспособность и, несмотря на определённые недостатки, заслуживает отличной оценки. Рецензент кандидат физико-математических наук М.И.Вязовский