Скачать 108.56 Kb.
Дата06.12.2018
Размер108.56 Kb.

Обозначения и пространства





Введение


Одной из основных задач статистической механики является обоснование перехода от представления о дискретном характере распределения материи к описанию ее как сплошной среды. Таким обоснованием является вывод уравнений гидродинамики из «первых принципов», т.е. из уравнений микроскопического движения составляющих систему частиц. Исторически существует два подхода к этой проблеме. Метод Н.Н. Боголюбова [1], когда рассматривается конечное число частиц N в объеме V, так, что при получении плотностных характеристик среды (плотности, средней скорости, средней внутренней энергии) делается предельный переход , называемый термодинамическим пределом. В другом подходе (Р. Балеску [2]) та же физическая система рассматривается как периодическое продолжение «ящиков», в которых заключено неизменное количество частиц. Математической трудностью в обоих подходах является корректное обоснование предельного перехода.

Фундаментальной проблемой является также обоснование существования равновесия у механической системы с большим, но конечным числом частиц. В математическом плане эта задача сводится к исследованию асимптотических по времени свойств решения уравнения Лиувилля относительно функции распределения частиц по каноническим фазовым переменным.

Простейшей моделью статистической механики является идеальный газ – система из большого числа одинаковых частиц, представляемых безразмерными точками, свободно (т.е. без столкновения одна с другой) движущимися в пространстве и, если выбрана модель замкнутого сосуда, отражающихся по тому или иному закону от его стенок. Более сложной моделью является газ Больцмана-Гиббса: это совокупность абсолютно упругих шариков, сталкивающихся между собой и со стенками сосуда. Статистическое равновесие в системе многих тел означает в классическом понимании [3], что скорости частиц имеют максвелловское распределение, а плотность постоянна по всему объему (с точностью до флуктуаций), т.е. равна средней плотности газа. Выравнивание же плотности означает, что имеет место диффузия, при которой начальные неоднородные условия необратимо размываются. В то же время уравнения динамики отдельных частиц и всей системы в целом обратимы по времени. Согласование этих двух положений именно для случая идеального газа представляет особую важность: может оказаться, что необратимость является скорее математическим свойством, чем следствием физических гипотез, таких, например, как гипотеза молекулярного хаоса в уравнении Больцмана.

Фундаментальные результаты о необратимом поведении идеального газа содержатся в книге В.В. Козлова [4], который обобщил подход А. Пуанкаре [5], основанный на представлении идеального газа как бесстолкновительной сплошной среды. Такое представление основано на аналогии между уравнением Лиувилля для функции распределения идеального газа по координатам и скоростям и уравнением неразрывности в механике жидкости.

В [5] на упрощенной одномерной модели идеального газа было показано, что из-за неравномерности свойства возвращаемости имеет место необратимая диффузия газа. В [4] это свойство корректно доказывается в некотором классе распределений частиц по скоростям и координатам, в частности, распределение должно быть интегрируемой по Лебегу функцией. В настоящей работе проводится доказательство теорем В.В. Козлова о диффузии для случая принадлежности распределений другим классам функций. Именно, нашей задачей является доказательство существования слабого предела решения уравнения Лиувилля для бесстолкновительной сплошной среды в случае, когда это решение является сингулярной обобщенной функцией.

Постановка задачи


Введем следующую систему обозначений.

– «сосуд», в котором находится система;

n-мерный тор, ;

,, , ;

– функция распределения; рассматривается также распределение ; кроме того, возможно определение как обобщенной функции.

Рассмотрим сплошную среду, удовлетворяющую уравнению неразрывности, которое также моделирует систему из большого числа невзаимодействующих частиц в сосуде, представляющем собой параллелепипед . Будем считать, что частицы среды отражаются от стенок сосуда абсолютно упруго. Поставим следующие вопросы относительно поведения системы с течением времени:



  1. Сходится ли и в каком смысле функция распределения частиц при ?

  2. Будет ли среда иметь равномерное распределение по координатам при ?

Для исследования указанных асимптотических свойств решений введем оператор эволюции системы : , где функция плотности распределения через промежуток времени t. Поскольку движение частицы происходит в потенциальном поле, созданном стенками сосуда в форме параллелепипеда, то при и выполняется , что демонстрирует свободное движение частицы между стенками.

Предположение о зеркальном отражении от стенок сосуда приводит к тому, что при и получаем .

Аналогично при и .

Возможны еще варианты, когда , , , . В этом случае, полагая для простоты что , , , имеем



Пользуясь свойством оператора эволюции , его действие можно определить для любого t. Удобно доопределить функцию таким образом, чтобы выполнялось равенство


. (1)
С этой целью доопределим на отрезке [-, 0]:

=,

,

и затем периодически продолжим ее по каждой из координат на всю действительную ось. При этом получится периодическая функция с периодом 2. Заметим, что результат действия оператора эволюции также дает периодическую функцию с тем же периодом. При движении системы в фазовом пространстве ее динамика задается уравнениями


(2)
Для такой системы приведем формулировки теорем, доказанных В.В. Козловым (см. [4]). Это позволит проследить направления, в которых будет проведена модификация условий этих теорем.

Первая теорема о диффузии (В. В. Козлов).

Пусть : есть интегрируемая по Лебегу функция, а интегрируемая по Риману функция. Введем функционал

K(t)=. (3)

Тогда



, (4)

где

, . (5)

Вторая теорема о диффузии (В. В. Козлов).

Пусть f, g: интегрируемые по Лебегу функции вместе со своими квадратами, т.е. f, g L2(P). Введем функционал

K(t)= =.

Тогда

. (6)

В частном случае первой теоремы, когда g(x) является характеристической функцией некоторого множества G, измеримого в смысле Жордановой меры (последнее возможно, т.к. в теореме 1 предполагается, что g(x) является интегрируемой по Риману функцией), функционал K(t) в формуле (3) может быть представлен в виде



K(t) = =.

Последний интеграл представляет собой долю частиц, находящихся в момент времени t в объеме G. Следовательно, указанная теорема имеет следующую интерпретацию:



(7)

Таким образом, доля частиц в объеме G стремится к некоторой константе при , причем эта константа равна отношению объема множества G к объему всего сосуда. Иначе говоря, частицы со временем стремятся равномерно заполнить сосуд.

В более общей формулировке первой теоремы функцию распределения следует считать обобщенной функцией, то есть определять ее как линейный функционал на пробных функциях, например, из пространства L2. В пространстве обобщенных функций предел f(x,) при понимается в слабом смысле, и вторая теорема позволяет найти этот предел. Именно, определим непрерывный линейный функционал

.

Тогда вторая теорема о диффузии может быть записана в следующем виде:



,

где


.

Далее мы рассмотрим обобщения вышеприведенных теорем о диффузии. Основной вопрос заключается в следующем: можно ли обобщить первую и вторую теорему на случай, когда f(x, ) не является интегрируемой по Лебегу функцией и представима в виде: a) f(x, ) = ()h(x); б) f(x, ) = (x)h()?



Обобщение первой теоремы о диффузии


Принципиально важным свойством функции плотности распределения является ее интегрируемость по Лебегу. Отказ от этого свойства в общем случае приводит к тому, что первая теорема о диффузии не имеет места. Например, пусть в системе существует конечная доля частиц с одинаковой скоростью . В этом случае среднее значение некоторой функции g по распределению определяется как

.

В этом выражении первое слагаемое при , как уже известно, стремится к константе, а вот второе слагаемое является в общем случае периодической функцией, и в результате сумма не будет стремиться к константе. Если же существует конечный набор таких групп частиц со скоростями , то получающаяся в результате сумма периодических функций является почти-периодической функцией, и не имеет предела при .


Однако есть важный пример обобщения первой теоремы о диффузии на случай, когда распределение f(x,) представляется в виде линейной комбинации обобщенных функций с точечным носителем по пространственным координатам с коэффициентами, являющимися интегрируемыми по Лебегу функциями в пространстве скоростей. В частности, пусть




. (8)

Тогда для функционала (3) имеем


Исследуем поведение K(t) при t и покажем, что частицы с течением времени равномерно заполняют сосуд. Подчеркнем, что функция распределения (8) имеет совершенно другие свойства относительно пространственных координат, чем в первой теореме о диффузии.



Теорема 1. Пусть, где h() – интегрируемая по Лебегу функция на , и пусть g(x) есть интегрируемая по Риману функция на .

Тогда существует предел
. (9)
Доказательство.

Так как интегрируемую по Лебегу функцию можно представить как разность двух положительных функций, то доказательство проводится только для положительных функций h. Сначала докажем для случая, когда функция g является тригонометрическим полиномом. Затем получим то же равенство для всех функций g из пространства функций, интегрируемых по Риману на . Доказательство проводим в несколько этапов.

1) Пусть g = C = const. Тогда

=

.

2) Пусть теперь . Тогда



,

после чего по теореме Римана получаем . В силу линейности из пунктов 1) и 2) следует, что равенство (9) выполнено для всех тригонометрических полиномов.

3) Из курса анализа известно (теорема Вейля), что если – функция, интегрируемая по Риману, то для любого  существуют такие тригонометрические полиномы и , что

, где .

Введем обозначения для функционалов



, .

Тогда, так как , то



,

и, кроме того,



.

Следовательно,



Теорема 1 доказана.



Обобщение второй теоремы о диффузии


Теорема 2. Пусть, где h() – ограниченная и интегрируемая по Лебегу функция на , интегрируемая по Риману функция. Обозначим

.

Тогда существует предел
. (10)
Доказательство.

1) Поскольку g(x,) является интегрируемой по Риману, то она ограничена и измерима, и, следовательно, интеграл



существует.

2) Так как функция h() интегрируема по Лебегу, то ее можно представить в виде разности двух положительных интегрируемых по Лебегу функций. Как и выше, нам достаточно доказать утверждение (10) только для случая h()>0.

3) В силу существования интеграла справедливы оценки:



и

.

Поэтому, если мы докажем, что

,

то фактически теорема 2 будет доказана. Следовательно, мы свели задачу к случаю финитных функций g(x, ).

4) Если g(x,) = g(), то

Это следует из того, что



.

5) Пусть g(x,)=exp(ikx+im/(b-a)). Тогда



Так как функция интегрируема по Лебегу, то по теореме Римана существует равный нулю предел



.

Отсюда следует, что равенство



доказано для тригонометрических полиномов.

5) Как и в случае доказательства теоремы 1, воспользуемся теоремой Вейля о том, что если g – функция, интегрируемая по Риману, то для любого  существуют такие тригонометрические полиномы g1 и g2, что

, ,

где


.

Введем функционалы



,

.

Так как , то



6) Из пункта 5) доказательства следует, что



.

По условию теоремы h() ограниченная функция, т.е. h()<M. Тогда

т.е.

.

Следовательно,



Таким образом, мы доказали теорему для любой финитной интегрируемой по Риману функции . Отсюда и из пункта 3) следует утверждение теоремы.


Заключение

Итак, в настоящей работе изучена возможность доказательства теорем В.В. Козлова о существовании пределов функций распределения для динамических систем, моделирующих бесстолкновительную сплошную среду при других условиях на принадлежность функций некоторому классу. Мы рассмотрели случай, когда функция распределения представляется в виде f(x,)=(x)h(), где h() интегрируемая по Лебегу функция. Это соответствует тому, что все частицы в начальный момент времени находятся в одной точке. Для этого случая мы доказали обе теоремы В.В. Козлова с дополнительным условием во второй теореме, что h() ограниченная функция. Таким образом, при вышеперечисленных условиях справедливы равенства:



,

.

В силу линейности можно считать, что допустимы также функции вида , где интегрируемые по Лебегу функции.

Целью проведенного исследования было расширение класса функций, для которых были доказаны исходные теоремы о диффузии. Важной задачей является также расширение класса динамических систем, для которых функции распределения имеют предел при . Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 05-01-00642


Литература

1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.

2. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978.

3. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956.



4. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. Избранные труды, т. III. М.: Наука, 1974.